交換関係で量子化すると何が壊れるか

命題 4.5（「ディラック場の量子化」§4）・ ✓公理まで証明済み

定義 4.1 の場の展開はそのままにし、反交換関係の代わりに交換関係

[a^r_{\boldsymbol p},a^{s\dagger}_{\boldsymbol q}] = [b^r_{\boldsymbol p},b^{s\dagger}_{\boldsymbol q}] = (2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol p-\boldsymbol q)\delta^{rs}\quad(\text{他の交換子は }0)

を課したとします。ハミルトニアンを $H = \int d^3x\,\bar\psi(-i\gamma^i\partial_i + m)\psi$ から c 数を引いたものとすると、次のどちらかが起こります。

$b^s_{\boldsymbol p}|0\rangle = 0$ を満たす真空と正定値な内積をもつフォック空間で実現すると、 $H$ は下に有界ではありません。
$b$ と $b^\dagger$ の役割を入れ替え、 $d^s_{\boldsymbol p} = b^{s\dagger}_{\boldsymbol p}$ を消滅演算子として $d^s_{\boldsymbol p}|0\rangle = 0$ とすると、フォック基底上の $H$ の固有値はすべて非負になりますが、 $\|d^\dagger(f)|0\rangle\|^2 = -\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}|f(\boldsymbol p)|^2 < 0$ となり、内積は正定値ではありません。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ディラック場のハミルトニアン・運動量・電荷✓定理 4.3・ディラック場の量子化
- ディラック方程式の平面波解✓命題 3.1・ディラック場の量子化
- スピノルの規格化と直交関係✓命題 3.2・ディラック場の量子化
- ディラック場の量子化定義 4.1・ディラック場の量子化

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。