物理学 › 場の量子論 › ディラック場の量子化

ディラック方程式の平面波解

命題 3.1（「ディラック場の量子化」§3） ・ ✓公理まで証明済み

pp を質量殻上の運動量とし、ξ,η∈C2\xi,\eta\in\mathbb{C}^2 に対して

u(p)=(p⋅σ ξp⋅σˉ ξ),v(p)=(p⋅σ η−p⋅σˉ η)u(p) = \begin{pmatrix}\sqrt{p\cdot\sigma}\,\xi\\ \sqrt{p\cdot\bar\sigma}\,\xi\end{pmatrix},\qquad v(p) = \begin{pmatrix}\sqrt{p\cdot\sigma}\,\eta\\ -\sqrt{p\cdot\bar\sigma}\,\eta\end{pmatrix}

とおきます（平方根は正定値エルミート行列の正の平方根）。このとき (γ⋅p−m)u(p)=0(\gamma\cdot p - m)u(p) = 0、(γ⋅p+m)v(p)=0(\gamma\cdot p + m)v(p) = 0 であり、したがって u(p)e−ip⋅xu(p)e^{-ip\cdot x} と v(p)eip⋅xv(p)e^{ip\cdot x} はディラック方程式の解です。さらに Ker(γ⋅p−m)\mathrm{Ker}(\gamma\cdot p - m) と Ker(γ⋅p+m)\mathrm{Ker}(\gamma\cdot p + m) はともに 2 次元で、ξ\xi（あるいは η\eta）を動かすとそれぞれ全体を尽くします。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件