Dirac 場 = 同じ質量の 2 つの Majorana 場

$\psi_1,\psi_2$ を同じ質量 $m$ をもつ 2 つの Majorana 場とし、それぞれのモードが $\lbrace a^r_{j,\boldsymbol p},a^{s\dagger}_{k,\boldsymbol q}\rbrace=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol p-\boldsymbol q)\delta^{rs}\delta_{jk}$（$j,k=1,2$）、他は $0$ を満たすとします。

とおくと、$\Psi$ は 定義 4.1 のディラック場で、$a,b$ がそのモードです。さらに $\Psi^c=(\psi_1-i\psi_2)/\sqrt2$ で、

1. $\sum_{j=1,2}\tfrac12\bar\psi_j(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi_j=\bar\Psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi$ （全微分を除いて）。
2. $H=\int\!\sum_s\omega_{\boldsymbol p}(a^\dagger a+b^\dagger b)=\sum_{j}\int\!\sum_s\omega_{\boldsymbol p}a_j^\dagger a_j$、$Q=\int\!\sum_s(a^\dagger a-b^\dagger b)=i\int\!\sum_s(a_1^\dagger a_2-a_2^\dagger a_1)$。

逆に、ディラック場 $\Psi$ から $\psi_1=(\Psi+\Psi^c)/\sqrt2$、$\psi_2=(\Psi-\Psi^c)/(i\sqrt2)$ が Majorana 場を与えます。