ウィリアムソンの標準形

定理 7.4（「行列の分解と標準形」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を $2n$ 次の正定値実対称行列とする。シンプレクティック行列 $S\in\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ と正の実数 $d_1,\ldots,d_n$ が存在して

S^{\mathsf{T}}AS=\begin{pmatrix}D&0\\0&D\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)

となる。さらに $\{d_k\}$ （シンプレクティック固有値）は順序を除いて一意で、 $\pm id_1,\ldots,\pm id_n$ は $JA$ の固有値のすべてである。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

半正定値行列の平方根の一意性✓補題 5.1・行列の分解と標準形
反対称行列の標準形✓補題 7.3・行列の分解と標準形
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
シンプレクティック群✓命題 7.2・行列の分解と標準形

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。