数学 › 線形代数学 › 行列の分解と標準形

反対称行列の標準形

補題 7.3（「行列の分解と標準形」§7） ・ ✓公理まで証明済み

KK を mm 次の実反対称行列（KT=−KK^{\mathsf{T}}=-K）で正則とする。このとき m=2nm=2n は偶数で、R2n\mathbb{R}^{2n} の正規直交基底 f1,…,fn,e1,…,en\boldsymbol{f}_1,\ldots,\boldsymbol{f}_n,\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n と μ1,…,μn>0\mu_1,\ldots,\mu_n>0 が存在して、Kek=μkfkK\boldsymbol{e}_k=\mu_k\boldsymbol{f}_k、Kfk=−μkekK\boldsymbol{f}_k=-\mu_k\boldsymbol{e}_k となる。すなわち、これらを列に並べた直交行列 OO について

OTKO=(0M−M0),M=diag⁡(μ1,…,μn).O^{\mathsf{T}}KO=\begin{pmatrix}0&M\\-M&0\end{pmatrix},\qquad M=\operatorname{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件