数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › 最高ウェイト理論

最高ウェイト加群の性質

命題 3.3（「最高ウェイト理論」§3）・ ✓公理まで証明済み

$V=U(\mathfrak{g})v^+$ を最高ウェイト $\lambda$ の最高ウェイト加群とする。

$V=U(\mathfrak{n}^-)v^+$ で、 $V$ は $y_{\beta_1}\cdots y_{\beta_k}v^+$ （ $\beta_j\in\Phi^+$ ）で張られる。したがって $V$ はウェイト加群で、ウェイトはすべて $\le\lambda$ 、 $\dim V_\lambda=1$ 、各 $\dim V_\mu\lt\infty$ である。
$V$ の真の部分加群の和は真の部分加群である。したがって $V$ はただ 1 つの極大な真部分加群をもち、ただ 1 つの既約商をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

部分環への分解✓系 2.2・最高ウェイト理論
- Poincaré–Birkhoff–Witt の定理✓定理 2.1・最高ウェイト理論
ウェイト加群の部分加群✓補題 3.1・最高ウェイト理論

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Verma 加群の構造と普遍性✓定理 4.2・最高ウェイト理論
有限次元既約表現の分類（最高ウェイト定理）✓定理 5.1・最高ウェイト理論
Verma 加群の構造✓命題 2.4・Virasoro の最高ウェイト表現

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