数学 › 高校数学：数と式・整数・数列 › 数列

階差と多項式の次数

命題 3.6（「数列」§3）・ ✓公理まで証明済み

$a_k=f(k)$ が $p$ 次多項式（ $p\ge1$ ）なら、 $\Delta a_k$ は $p-1$ 次多項式で、最高次の係数は $p$ 倍になる。したがって $\Delta^{p}a$ は定数 $p!\cdot c$ （ $c$ は $f$ の最高次の係数）、 $\Delta^{p+1}a=0$ 。
逆に、すべての $k$ で $\Delta^{p+1}a_k=0$ ならば、 $a_n=\sum_{j=0}^p\binom{n-1}j(\Delta^ja)_1$ は $n$ の $p$ 次以下の多項式である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

二項定理✓定理 7.3・数え上げと母関数
- 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
Newton の前進差分公式（階差数列の一般化）✓定理 3.5・数列
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 和分の基本公式（telescoping）✓定理 3.2・数列

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問

高校数学（代数）第 86 問