2 次元 Yang–Mills 理論の連続極限

$d=2$、$g\gt0$ とし、$\ell_1,\ell_2\gt0$ を固定する。格子間隔 $a$ は $\ell_1/a,\ell_2/a$ が整数になるように $0$ に近づけ、$\mathcal{C}_a$ を $(\ell_1/a)\times(\ell_2/a)$ の長方形の境界のループとする。

1. （熱核作用、一般の群）$G$ を連結なコンパクト Lie 群とし、プラケットの重みを $w=K_t$、$t=\frac{g^2a^2}{2}$ とする。このとき、$\rho$ と複素共役な既約表現 $\bar\rho$ について、すべての $a$ で $$\Bigl\langle\frac{1}{d_\rho}\chi_{\bar\rho}(U_{\mathcal{C}_a})\Bigr\rangle=\exp\Bigl(-\frac{g^2}{2}\,C_2(\rho)\,\ell_1\ell_2\Bigr).$$
2. （Wilson 作用、$SU(2)$）$G=SU(2)$、$w(U)=\exp\bigl(\frac\beta2\mathrm{tr}\,U\bigr)$、$\beta=\frac{4}{g^2a^2}$ とする。基本表現について $c_F(\beta)=1-\frac{3}{2\beta}+O(\beta^{-2})$（$\beta\to\infty$）であり、 $$\lim_{a\to0}\Bigl\langle\frac12\mathrm{tr}\,U_{\mathcal{C}_a}\Bigr\rangle=\exp\Bigl(-\frac{3g^2}{8}\,\ell_1\ell_2\Bigr)=\exp\Bigl(-\frac{g^2}{2}\,C_2(F)\,\ell_1\ell_2\Bigr),\qquad C_2(F)=\frac34 .$$