2 次元格子 Yang–Mills 理論の厳密解

上の設定で、$\rho$ を $G$ の有限次元既約ユニタリ表現、$d_\rho$ をその次元、$\chi_\rho=\mathrm{tr}\,\rho$ とし、

と置く。

1. $Z=\bigl(\int_Gw\,dU\bigr)^{L_1L_2}$。
2. $\mathcal{C}$ を $\Lambda$ の中の $R\times T$ の長方形の境界を反時計回りに 1 周する閉路、$U_{\mathcal{C}}$ をそれに沿うリンク変数の積とすると $$\Bigl\langle\frac{1}{d_\rho}\chi_\rho(U_{\mathcal{C}})\Bigr\rangle_\mu=c_\rho^{\,RT}.$$
3. $w\gt0$ とする。$\rho$ が自明表現でなければ $|c_\rho|\lt1$。したがって $\sigma_\rho=-\log|c_\rho|\gt0$ として、Wilson ループの期待値の絶対値は $e^{-\sigma_\rho RT}$ で、$w$ の取り方（結合定数の値）によらず面積則に従う。