数学 › 位相空間論 › 分離公理と距離づけ可能性

集合までの距離

補題 5.1（「分離公理と距離づけ可能性」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(X,d)$ を距離空間、 $A \subseteq X$ を空でない部分集合とし、

d(x, A) := \inf_{a \in A} d(x,a)

とおく（ $A \ne \emptyset$ かつ $d \ge 0$ だから、下に有界な空でない集合の下限として右辺は実数として確定する。上限・下限の存在（定理 4.2）［実数の完備性とコーシー列］）。このとき次が成り立つ。

任意の $x, y \in X$ について $|d(x,A) - d(y,A)| \le d(x,y)$ 。とくに $x \mapsto d(x,A)$ は連続である。
$d(x,A) = 0 \iff x \in \overline{A}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

リプシッツ連続定義 6.6・連続関数と一様連続性

これを使っている定理証明で参照している 3 件

立方体の対辺の分離✓定理 6.1・次元論の入口
距離空間は T4✓定理 5.2・分離公理と距離づけ可能性
完全正規空間の特徴づけ（Vedenissoff）✓命題 6.2・完全正則空間と埋め込み定理

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