商空間の分離公理

命題 4.8（「積位相・商位相と Tychonoff の定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$q : X \to Y$ を商写像（定義 4.1）とする。

$Y$ が T1 であるための必要十分条件は、すべての $y \in Y$ について $q^{-1}(y)$ が $X$ の閉集合であることである。
$q$ が開写像であるとする。 $Y$ がハウスドルフであるための必要十分条件は、 $R := \{(x, x') \in X \times X : q(x) = q(x')\}$ が積空間 $X \times X$ の閉集合であることである。
$q$ が閉写像で $X$ が正規ならば、 $Y$ は正規である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

命題 3.2✓分離公理と距離づけ可能性
- T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
積位相の開基✓命題 3.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。