部分和に分けた和の差の上界と、分割の固定による再現

$x_1, \ldots, x_n$（$n \ge 2$）を浮動小数点数、$u$ を単位丸めとし、$(n-1)u \lt 1$、$\gamma_{n-1} = (n-1)u/(1 - (n-1)u)$ とする。添字の集合 $\{1, \ldots, n\}$ を空でない $p$ 個の組に分け、各組の和を浮動小数の加算で（任意の順序・任意の括弧づけで）計算し、得られた $p$ 個の部分和を浮動小数の加算で（任意の順序・任意の括弧づけで）足した結果を $\hat s_{\mathrm{par}}$ とする。逐次和の結果を $\hat s_{\mathrm{seq}}$ とする。どの計算でもオーバーフローとアンダーフローが起きないならば、次が成り立つ。

1. $|\hat s_{\mathrm{par}} - \hat s_{\mathrm{seq}}| \le 2\gamma_{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i|$。
2. 組への分け方、各組の中の加算の順序と括弧づけ、部分和を足す順序と括弧づけがすべて同じ 2 回の実行は、加算が同じ丸めの方向で正しく丸められる限り、どの加算をどのスレッドがいつ実行したかによらず、同じ浮動小数点数を返す。