4 次元 φ⁴ 理論の 1 ループのベータ関数

命題 6.3（「くりこみ理論入門」§6）・ ✓公理まで証明済み

4 次元 $\phi^4$ 理論のベータ関数は

\beta(\lambda) = \frac{3\lambda^2}{16\pi^2} + O(\lambda^3)

である。 $\lambda > 0$ では $\beta > 0$ なので、結合はスケールを上げるほど強くなる。これを積分すると、基準点 $\mu_0$ での値 $\lambda(\mu_0)$ に対して

\lambda(\mu) = \frac{\lambda(\mu_0)}{\,1 - \dfrac{3\lambda(\mu_0)}{16\pi^2}\ln\dfrac{\mu}{\mu_0}\,}

となり、 $\mu_L = \mu_0\exp\!\big[16\pi^2/(3\lambda(\mu_0))\big]$ で発散する（ランダウ極）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 ループでのくりこみ✓定理 4.2・くりこみ理論入門
- 2 点関数の 1 ループ補正✓補題 3.1・くりこみ理論入門
- 4 点頂点関数の 1 ループ表式✓命題 3.5・くりこみ理論入門
- バブル積分✓補題 3.3・くりこみ理論入門
バブル積分✓補題 3.3・くりこみ理論入門

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。