1 ループでのくりこみ

定理 4.2（「くりこみ理論入門」§4）・ ✓公理まで証明済み

4 次元ユークリッド $\phi^4$ 理論を運動量カットオフ $\Lambda$ で正則化し、 $\Lambda \gg m_R$ とする。裸のパラメータを

\begin{gathered} m_0^2(\Lambda) = m_R^2 - \frac{\lambda_R}{32\pi^2}\Big[\Lambda^2 - m_R^2\ln\frac{\Lambda^2}{m_R^2}\Big] + O(\lambda_R^2),\\ \lambda_0(\Lambda) = \lambda_R + \frac{3\lambda_R^2}{32\pi^2}\Big[\ln\frac{\Lambda^2}{m_R^2} - 1\Big] + O(\lambda_R^3) \end{gathered}

と選べば、上の 3 つのくりこみ条件が $O(\lambda_R^2)$ まで満たされ、さらに任意の外線運動量に対して

\begin{gathered} \Gamma^{(2)}(p) = p^2 + m_R^2 + O(\lambda_R^2),\\ \Gamma^{(4)}(p_1,\ldots,p_4) = \lambda_R + \frac{\lambda_R^2}{32\pi^2}\big[F(s)+F(t)+F(u)\big] + O(\lambda_R^3),\\ F(q^2) = \int_0^1 dx\,\ln\Big(1+\frac{x(1-x)q^2}{m_R^2}\Big) \end{gathered}

が成り立つ。右辺は $\Lambda$ を含まず、 $\Lambda \to \infty$ で有限な極限を持つ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。