物理学 › 場の量子論 › スカラー場の正準量子化

励起状態の粒子解釈

定理 6.2（「スカラー場の正準量子化」§6） ・ ✓公理まで証明済み

運動量演算子を P^=−∫d3x  π^(x)∇ϕ^(x)\hat{\boldsymbol P} = -\int d^3x\;\hat\pi(x)\nabla\hat\phi(x) と定義すると、正規順序の下で

:P^:=∫d3k(2π)3 k  a^k†a^k{:}\hat{\boldsymbol P}{:} = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\,\boldsymbol k\;\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}\hat a_{\boldsymbol k}

です。したがって 定義 6.1 の 1 粒子状態 ∣k⟩|\boldsymbol k\rangle について

H^∣k⟩=ωk∣k⟩,P^∣k⟩=k ∣k⟩,N^∣k⟩=∣k⟩\hat H|\boldsymbol k\rangle = \omega_{\boldsymbol k}|\boldsymbol k\rangle,\qquad \hat{\boldsymbol P}|\boldsymbol k\rangle = \boldsymbol k\,|\boldsymbol k\rangle,\qquad \hat N|\boldsymbol k\rangle = |\boldsymbol k\rangle

が成り立ち、エネルギーと運動量は相対論的分散関係 ωk2=∣k∣2+m2\omega_{\boldsymbol k}^2 = |\boldsymbol k|^2 + m^2 を満たします。さらに内積

⟨k∣k′⟩=2ωk(2π)3δ3(k−k′)\langle\boldsymbol k|\boldsymbol k'\rangle = 2\omega_{\boldsymbol k}(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k')

は固有直交時ローレンツ変換の下で不変です。すなわち ∣k⟩|\boldsymbol k\rangle は、質量 mm・運動量 k\boldsymbol k をもつ 1 個の相対論的粒子の状態と解釈できます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。