leapfrog・中心差分の数値分散関係

格子 $h\mathbb{Z}$ 上のスキーム $u^{n+1}_j - 2u^n_j + u^{n-1}_j = \nu^2(u^n_{j+1} - 2u^n_j + u^n_{j-1})$（$\nu = c\Delta t/h$）について次が成り立つ。

1. 実数 $k$、$\omega$ について、平面波 $u^n_j = e^{i(kx_j - \omega t_n)}$ が解であることは $$\sin^2\frac{\omega\Delta t}{2} = \nu^2\sin^2\frac{kh}{2}$$ と同値である。
2. $0 \lt \nu \le 1$ を固定し、$|kh| \le \pi$ について $\omega_h(k) = \frac{2}{\Delta t}\arcsin\bigl(\nu\sin\frac{kh}{2}\bigr)$ とおくと、$kh \to 0$ で $$\frac{\omega_h(k)}{ck} = 1 - \frac{1-\nu^2}{24}(kh)^2 + O\bigl((kh)^4\bigr)$$ である。$\nu = 1$ では $\omega_h(k) = ck$ が厳密に成り立つ。