余接の公式と離散最大値原理

命題 6.1（「有限要素法 II」§6）・ ✓公理まで証明済み

頂点 $a_i, a_j, a_k$ の三角形 $T$ で、 $a_k$ の角を $\theta_k$ とすると $\displaystyle\int_T\nabla\lambda_i\cdot\nabla\lambda_j\,dx = -\frac12\cot\theta_k$ 。したがって、辺で結ばれた相異なる節点 $i$ 、 $j$ について $\tilde K_{ij} = -\frac12\sum\cot\theta$ （和はその辺を含む三角形についてとり、 $\theta$ はその三角形で辺に向かい合う角）で、辺で結ばれていなければ $\tilde K_{ij} = 0$ 。
内部の節点を端点とするすべての辺について、その辺に向かい合う 2 つの角の和が $\pi$ 以下ならば、内部の節点 $i$ と任意の節点 $j \ne i$ について $\tilde K_{ij} \le 0$ である。このとき $K$ は非対角成分が $0$ 以下の正定値対称行列（Stieltjes 行列。定義 6.1［Krylov 部分空間法 II］）である。
2 の仮定のもとで、 $u_h \in X_h$ がすべての内部の節点 $i$ について $\langle\nabla u_h, \nabla\varphi_i\rangle \le 0$ を満たすならば、 $\max_{\bar\Omega}u_h = \max_{\partial\Omega}u_h$ である（離散最大値原理）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。