情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 有限要素法 I

求積による誤差（第 1 Strang の補題）

命題 6.4（「有限要素法 I」§6） ・ ✓公理まで証明済み

aa は VV 上で有界（定数 MM）、uu は変分問題の解とする。Vh×VhV_h \times V_h 上の双線形形式 aha_h と VhV_h 上の線形汎関数 fhf_h が与えられ、定数 α~>0\tilde\alpha > 0 について ah(vh,vh)≥α~∥vh∥V2a_h(v_h, v_h) \ge \tilde\alpha\|v_h\|_V^2（vh∈Vhv_h \in V_h）とする。このとき ah(u~h,vh)=fh(vh)a_h(\tilde u_h, v_h) = f_h(v_h)（すべての vh∈Vhv_h \in V_h）を満たす u~h∈Vh\tilde u_h \in V_h がただ 1 つあり

∥u−u~h∥V≤inf⁡vh∈Vh[(1+Mα~)∥u−vh∥V+1α~sup⁡wh≠0∣a(vh,wh)−ah(vh,wh)∣∥wh∥V]+1α~sup⁡wh≠0∣f(wh)−fh(wh)∣∥wh∥V\|u - \tilde u_h\|_V \le \inf_{v_h \in V_h}\Bigl[\Bigl(1 + \frac{M}{\tilde\alpha}\Bigr)\|u - v_h\|_V + \frac{1}{\tilde\alpha}\sup_{w_h \ne 0}\frac{|a(v_h, w_h) - a_h(v_h, w_h)|}{\|w_h\|_V}\Bigr] + \frac{1}{\tilde\alpha}\sup_{w_h \ne 0}\frac{|f(w_h) - f_h(w_h)|}{\|w_h\|_V}

が成り立つ（上限は wh∈Vhw_h \in V_h についてとる）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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