数学 › 数理論理学と型理論 › 一階述語論理と完全性定理

ゲーデルの完全性定理（可算言語）

定理 5.7（「一階述語論理と完全性定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$L$ を可算言語とする。

$L$ の理論 $\Sigma$ が無矛盾ならば、 $\Sigma$ はモデルをもつ。
$\Gamma$ を文の集合、 $\varphi$ を論理式とするとき、 $\Gamma\models\varphi$ ならば $\Gamma\vdash\varphi$ 。

したがって健全性（定理 4.3）と合わせて、 $\Gamma\vdash\varphi\iff\Gamma\models\varphi$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

真理補題✓補題 5.6・一階述語論理と完全性定理
- 代入補題✓補題 3.4・一階述語論理と完全性定理
- ヘンキン理論✓補題 5.3・一階述語論理と完全性定理
  - ヘンキン公理を足しても無矛盾✓補題 5.2・一階述語論理と完全性定理
    無矛盾性の基本性質✓命題 4.5・一階述語論理と完全性定理（上で展開済み）
    新しい定数の変数化✓補題 4.6・一階述語論理と完全性定理
  - 新しい定数の変数化✓補題 4.6・一階述語論理と完全性定理
無矛盾性の基本性質✓命題 4.5・一階述語論理と完全性定理
- 演繹定理✓命題 4.4・一階述語論理と完全性定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

ゲーデルの完全性定理（任意の言語）✓定理 5.9・一階述語論理と完全性定理
コンパクト性定理✓定理 6.1・一階述語論理と完全性定理
レーヴェンハイム–スコーレムの定理✓定理 6.4・一階述語論理と完全性定理

関連するノック 2 問