閉区間での 2 次関数の最大・最小

定理 4.1（「2 次関数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f(x)=a(x-p)^2+q$ （ $a>0$ ）とし、閉区間 $[m,M]$ （ $m<M$ ）での最小値・最大値を考える。

最小値: (i) $p<m$ のとき $f(m)$ 、(ii) $m\le p\le M$ のとき $f(p)=q$ 、(iii) $M<p$ のとき $f(M)$ 。
最大値: (iv) $p\le\dfrac{m+M}{2}$ のとき $f(M)$ 、(v) $p\ge\dfrac{m+M}{2}$ のとき $f(m)$ 。

(i)〜(iii) は互いに排反で全体を尽くす。(iv) と (v) は $p=\tfrac{m+M}{2}$ で重なるが、そのとき $f(m)=f(M)$ なので値は一致する。 $a<0$ のときは、 $-f$ に上を適用して最大と最小を入れ替えればよい。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。