Friedrichs 拡大

$S$ を稠密な定義域をもつ対称作用素で、ある $M\ge 0$ について $S\ge -M$ であるとする。このとき次が成り立つ。

1. $D(S)$ 上の形式 $q_S(\varphi,\psi)=\langle\varphi,S\psi\rangle$ は閉包可能で、閉包 $\bar{q}_S$ も $\bar{q}_S\ge -M$ を満たす。
2. $\bar{q}_S$ に 定理 4.2 で対応する自己共役作用素 $S_{\mathrm{F}}$ は $S$ の拡大であり、$S_{\mathrm{F}}\ge -M$ である（Friedrichs 拡大）。
3. $S$ の自己共役拡大 $T$ で $D(T)\subset Q(\bar{q}_S)$ を満たすものは $S_{\mathrm{F}}$ だけである。