Krawczyk の定理

$f:U\to\mathbb{R}^n$ は開集合 $U\subset\mathbb{R}^n$ で $C^1$ 級、$X=\prod_i[a_i,b_i]\subset U$（すべて $a_i\lt b_i$）は直方体、$\tilde x\in X$、$R\in\mathbb{R}^{n\times n}$ とする。区間行列 $\mathbf{J}$（各成分が区間の行列）が、すべての $\xi\in X$ について $f'(\xi)\in\mathbf{J}$（成分ごとに属する）を満たすとする。区間演算で

を計算する（区間行列と区間ベクトルの積は成分ごとの区間演算）。このとき次が成り立つ。

1. $f$ の $X$ 内の零点はすべて $K(X)$ に属する。
2. $K(X)\subset\operatorname{int}X$ ならば、$R$ と $\mathbf{J}$ の任意の行列は正則で、$f$ は $X$ にちょうど 1 つの零点をもつ。