数学 › 組合せ論 › グラフと行列式

Pfaffian の閉路展開

補題 7.14（「グラフと行列式」§7）・ ✓公理まで証明済み

すべての辺で $x_e\neq0$ とする。 $x$ によらない符号 $\epsilon\in\{\pm1\}$ があって

P=\epsilon\sum_{F}x^F\sum_{\pi}\prod_{j=1}^{r}\bigl(-e^{i\operatorname{rot}(\gamma_j)/2}\bigr)

が成り立つ。 $F$ は偶部分グラフ全体、 $\pi$ は $F$ のつなぎ方全体を動き、 $x^F=\prod_{g\in F}x_g$ 、 $\gamma_1,\dots,\gamma_r$ は $(F,\pi)$ が定める閉路である（ $F=\varnothing$ では積は $1$ ）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Pfaffian定義 4.2・グラフと行列式
Pfaffian の 2 乗は行列式✓定理 4.3・グラフと行列式
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
Kasteleyn の定理✓定理 4.6・グラフと行列式
- Pfaffian の 2 乗は行列式✓定理 4.3・グラフと行列式（上で展開済み）
- 閉路の時計回りの辺の偶奇✓補題 4.5・グラフと行列式
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Kac–Ward 公式✓定理 7.3・グラフと行列式