イデール類群の不変部分

$L/K$ を代数体の有限次巡回拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とする。対角埋め込みによる $\mathbb{I}_K \to \mathbb{I}_L$ は $\mathbb{I}_K$ を $\mathbb{I}_L^G$ の上へ同型に写し、$C_K \to C_L$ は単射で像は $C_L^G$ である。$G$ のノルム $N = \sum_{\sigma \in G}\sigma$ は、この同一視のもとでイデールのノルム写像 $N_{L/K}$ に一致する。したがって $\widehat{H}^0(G, \mathbb{I}_L) = \mathbb{I}_K/N_{L/K}\mathbb{I}_L$、$\widehat{H}^0(G, C_L) = C_K/N_{L/K}C_L$ である。