数学 › 位相空間論 › 可算性・点列・可算コンパクト性

Cantor–Bendixson の定理

定理 4.2（「可算性・点列・可算コンパクト性」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を第二可算な位相空間とし、 $P := P(X)$ をその完全核とする。

$P$ は完全集合であり、 $X$ の自己稠密な部分集合（とくに完全集合）はすべて $P$ に含まれる。
$X \setminus P$ は高々可算である。したがって $X$ は完全集合 $P$ と高々可算な集合 $X \setminus P$ の非交和である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

高々可算集合の可算和✓命題 5.8・濃度と無限
- 整列性公理 3.1・証明の技術
- 自然数の対の全体は可算✓補題 5.4・濃度と無限
  - カントール–シュレーダー–ベルンシュタインの定理✓定理 3.5・濃度と無限

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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