物理学 › 場の量子論 › 電磁場の量子化とゲージ固定

時間的光子は負ノルムをもつ

命題 4.3（「電磁場の量子化とゲージ固定」§4） ・ ✓公理まで証明済み

⟨0∣0⟩=1\langle0|0\rangle=1 とし、ff を急減少関数として ∣f;λ⟩=∫d3k(2π)3f(k) a^k,λ†∣0⟩|f;\lambda\rangle=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}f(\boldsymbol k)\,\hat a^\dagger_{\boldsymbol k,\lambda}|0\rangle と置くと

⟨f;λ∣f;λ⟩=−gλλ∫d3k(2π)3∣f(k)∣2\langle f;\lambda|f;\lambda\rangle=-g_{\lambda\lambda}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}|f(\boldsymbol k)|^2

です。とくに λ=0\lambda=0 の状態は f≠0f\neq0 なら負のノルムをもちます。一方、正規順序をとったハミルトニアンは

H^=∫d3k(2π)3∣k∣(∑i=13a^k,i†a^k,i−a^k,0†a^k,0)\hat H=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}|\boldsymbol k|\left(\sum_{i=1}^{3}\hat a^\dagger_{\boldsymbol k,i}\hat a_{\boldsymbol k,i}-\hat a^\dagger_{\boldsymbol k,0}\hat a_{\boldsymbol k,0}\right)

で、すべての λ\lambda について [H^,a^k,λ†]=∣k∣ a^k,λ†[\hat H,\hat a^\dagger_{\boldsymbol k,\lambda}]=|\boldsymbol k|\,\hat a^\dagger_{\boldsymbol k,\lambda} が成り立ちます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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