根基の基本性質

$m, n$ を正整数とします。次が成り立ちます。

1. $\operatorname{rad}(n) \mid n$、特に $\operatorname{rad}(n) \le n$。等号が成り立つのは $n$ が平方因子を持たないとき、かつそのときに限る。
2. 任意の正整数 $k \ge 1$ に対し $\operatorname{rad}(n^k) = \operatorname{rad}(n)$。
3. $\operatorname{rad}(mn) \le \operatorname{rad}(m)\operatorname{rad}(n)$。特に $\gcd(m,n) = 1$ ならば等号 $\operatorname{rad}(mn) = \operatorname{rad}(m)\operatorname{rad}(n)$ が成り立つ。
4. $p^2 \mid n$ となる素数 $p$ が存在すれば $\operatorname{rad}(n) \le n/p$。