減衰振動の一般解

上の方程式の一般解は次のとおりである。$A,B$ は任意定数。

1. $\beta<\omega_0$（不足減衰）: $x=e^{-\beta t}\left(A\cos\omega_dt+B\sin\omega_dt\right)$、ただし $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$。
2. $\beta=\omega_0$（臨界減衰）: $x=e^{-\beta t}(A+Bt)$。
3. $\beta>\omega_0$（過減衰）: $x=e^{-\beta t}\left(A\cosh\kappa t+B\sinh\kappa t\right)$、ただし $\kappa=\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$。

初期条件 $x(0)=x_0$, $\dot x(0)=v_0$ に対する係数は、1 では $A=x_0$, $B=(v_0+\beta x_0)/\omega_d$ である。