直線の方程式・平行と垂直

命題 2.1（「図形と方程式」§2）・ ✓公理まで証明済み

（一般形） 平面の直線は、 $(a,b)\ne(0,0)$ を満たす $ax+by+c=0$ の解集合として表され、逆にそのような方程式の解集合は直線である。 $\boldsymbol n=(a,b)$ は法線ベクトル、 $(-b,a)$ は方向ベクトルである。2 つの方程式が同じ直線を表すことと、係数の組 $(a,b,c)$ が互いに $0$ でない定数倍であることは同値である。
（2 点を通る直線） 相異なる 2 点 $A,B$ を通る直線はただ 1 つで、その方程式は $(y_B-y_A)(x-x_A)-(x_B-x_A)(y-y_A)=0$ 。
直線 $\ell:ax+by+c=0$ 、 $\ell':a'x+b'y+c'=0$ について、 $\Delta=ab'-a'b$ とする。 $\Delta\ne0$ ならちょうど 1 点で交わり、交点は $\Bigl(\dfrac{bc'-b'c}{\Delta},\ \dfrac{ca'-c'a}{\Delta}\Bigr)$ 。 $\Delta=0$ なら一致するか共有点をもたない（平行）。 $\ell\perp\ell'\iff aa'+bb'=0$ 。
$b,b'\ne0$ のとき、傾き $m=-a/b$ 、 $m'=-a'/b'$ について、 $\ell\parallel\ell'\iff m=m'$ 、 $\ell\perp\ell'\iff mm'=-1$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。