√2 の連分数と近似分数

命題 6.4（「整数の性質 I」§6）・ ✓公理まで証明済み

$t_0=1$ 、 $t_{n+1}=1+\dfrac1{1+t_n}$ とおくと、 $t_n=[1;\underbrace{2,\dots,2}_{n}]$ であり、 $t_n=p_n/q_n$ と書くと整数列 $p_n,q_n$ は

p_{n+1}=p_n+2q_n,\quad q_{n+1}=p_n+q_n,\quad(p_0,q_0)=(1,1)

で与えられ、 $p_n^2-2q_n^2=(-1)^{n+1}$ を満たす。さらに $\bigl|t_n-\sqrt2\bigr|<\dfrac1{2q_n^2}$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。