物理学 › 固体物理 › 超伝導

BCS 基底状態とギャップ方程式

定理 4.2（「超伝導」§4） ・ ✓公理まで証明済み

ξk=ξ−k\xi_{\boldsymbol{k}}=\xi_{-\boldsymbol{k}} とする。⟨ΨBCS∣H∣ΨBCS⟩\langle\Psi_{\mathrm{BCS}}|H|\Psi_{\mathrm{BCS}}\rangle を θk\theta_{\boldsymbol{k}} について停留させる条件は、殻の中の k\boldsymbol{k} について

vk2=12(1−ξkEk),uk2=12(1+ξkEk),ukvk=Δ2Ek,Ek=ξk2+Δ2v_{\boldsymbol{k}}^2=\frac12\left(1-\frac{\xi_{\boldsymbol{k}}}{E_{\boldsymbol{k}}}\right),\quad u_{\boldsymbol{k}}^2=\frac12\left(1+\frac{\xi_{\boldsymbol{k}}}{E_{\boldsymbol{k}}}\right),\quad u_{\boldsymbol{k}}v_{\boldsymbol{k}}=\frac{\Delta}{2E_{\boldsymbol{k}}},\qquad E_{\boldsymbol{k}}=\sqrt{\xi_{\boldsymbol{k}}^2+\Delta^2}

（殻の外では vk2=Θ(−ξk)v_{\boldsymbol{k}}^2=\Theta(-\xi_{\boldsymbol{k}})）であり、ギャップ Δ=V0V∑k′ukvk\Delta=\frac{V_0}{\mathcal{V}}\sum'_{\boldsymbol{k}}u_{\boldsymbol{k}}v_{\boldsymbol{k}} はギャップ方程式

1=V0V∑k′12Ek  ⟺  1=N(0)V0∫0ℏωDdξξ2+Δ21=\frac{V_0}{\mathcal{V}}\sum_{\boldsymbol{k}}{}^{'}\frac1{2E_{\boldsymbol{k}}}\ \ \Longleftrightarrow\ \ 1=N(0)V_0\int_0^{\hbar\omega_D}\frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}

を満たす（Δ≠0\Delta\ne0 の解について）。この方程式は Δ=Δ0\Delta=\Delta_0 に唯一の解をもち、

Δ0=ℏωDsinh⁡(1/g) ≃ 2ℏωDe−1/g(g=N(0)V0≪1)\Delta_0=\frac{\hbar\omega_D}{\sinh(1/g)}\ \simeq\ 2\hbar\omega_De^{-1/g}\qquad(g=N(0)V_0\ll1)

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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