複素微分の演算法則

$f, g$ が $z_0$ で複素微分可能とする。このとき次が成り立つ。

1. 任意の $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ に対し $\alpha f + \beta g$ は $z_0$ で複素微分可能で $(\alpha f + \beta g)'(z_0) = \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0)$。
2. $fg$ は $z_0$ で複素微分可能で $(fg)'(z_0) = f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0)$。
3. $g(z_0) \ne 0$ ならば $f/g$ は $z_0$ の近傍で定義され、$z_0$ で複素微分可能で $$\left(\frac{f}{g}\right)'(z_0) = \frac{f'(z_0)g(z_0) - f(z_0)g'(z_0)}{g(z_0)^2}.$$
4. さらに $g$ が $f(z_0)$ の近傍で定義され $f(z_0)$ で複素微分可能ならば、$g \circ f$ は $z_0$ で複素微分可能で $(g\circ f)'(z_0) = g'(f(z_0))\, f'(z_0)$。