共終関手に沿った余極限

関手 $\varphi : I \to J$（$I, J$ は小さい）が共終であるとは、各 $j \in J$ についてコンマ圏 $(j \downarrow \varphi)$（定義 7.1［圏・関手・自然変換］。対象は射 $u : j \to \varphi(i)$）が空でなく連結（任意の 2 対象が、向きを問わない射の有限列で結ばれる）であることをいう。$\varphi$ が共終なら、図式 $D : J \to \mathcal{C}$ について、$D$ 下の余錐を $\varphi$ に制限する写像は、$D$ 下の余錐と $D\varphi$ 下の余錐の間の（頂点について自然な）全単射である。したがって $D$ の余極限が存在することと $D\varphi$ の余極限が存在することは同値で、標準射 $\operatorname{colim} D\varphi \to \operatorname{colim} D$ は同型である。