ボルツマンの H 定理

$f(\boldsymbol{v},t)>0$ が $\partial_tf=C[f]$ の解で、$\boldsymbol{v}$ について十分速く減衰し滑らかなとする。

(i)（保存則）$n=\int f\,d\boldsymbol{v}$、$\int\boldsymbol{v}f\,d\boldsymbol{v}$、$\int|\boldsymbol{v}|^2f\,d\boldsymbol{v}$ は $t$ によらない。

(ii)（H 定理）$H(t)=\int f\ln f\,d\boldsymbol{v}$ に対し

(iii)（平衡）$dH/dt=0$ となるのは、$f$ がマクスウェル分布 $f=n\Bigl(\dfrac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\Bigr)^{3/2}\exp\Bigl[-\dfrac{m|\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}|^2}{2k_{\mathrm B}T}\Bigr]$ のときに限る。