定常分布と自由エネルギーの単調減少

命題 5.4（「ゆらぎ・線形応答・非平衡」§5）・ ✓公理まで証明済み

$e^{-\beta U}$ が可積分とし、 $p_{\mathrm{eq}}=e^{-\beta U}/Z$ とおく。

(i) $p_{\mathrm{eq}}$ は上の方程式の定常解で、流れ $J=0$ である。

(ii) 自由エネルギー汎関数 $\mathcal F[p]=\int\bigl(Up+k_{\mathrm B}T\,p\ln p\bigr)dx$ は

\frac{d\mathcal F}{dt}=-\frac1\zeta\int p\,\Bigl(U'+k_{\mathrm B}T\,\frac{\partial_xp}{p}\Bigr)^2dx\le0

を満たす。等号は $p\propto e^{-\beta U}$ のときに限る。また $\mathcal F[p]-\mathcal F[p_{\mathrm{eq}}]=k_{\mathrm B}T\int p\ln(p/p_{\mathrm{eq}})\,dx\ge0$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。