球算術の保証と限界

球 $B(m,r)$ と演算 $\oplus,\otimes$ は 定義 4.8［浮動小数と区間演算］ のものとし、$B_1\ominus B_2=B_1\oplus B(-m_2,r_2)$ と定める。

1. （包含）$m_1+m_2$, $m_1m_2$ が $0$ か正規化数の範囲にあるとき、$x\in B_1$, $y\in B_2$ ならば $x+y\in B_1\oplus B_2$, $xy\in B_1\otimes B_2$。
2. （依存性）$B=B(m,r)$ について $B\ominus B=B(0,r')$, $r'\ge2r$ である。$\{x-x:x\in B\}=\{0\}$ なのに、結果の半径は $2r$ 以上になる。
3. （精度を上げると縮む）$m_1,m_2$ を精度 $p_0$ の浮動小数点数とし、精度 $p\ge p_0$（単位丸め $u=2^{-p}$）で半径 $0$ の球 $B(m_1,0)$, $B(m_2,0)$ の和と積を計算する。半径を定義の右辺の $(1+\lambda)$ 倍以下（$\lambda\ge0$ は実装で決まる定数）にとるならば、オーバーフローもアンダーフローも起きないとき、和の球の半径は $(1+\lambda)(1+u)\,u\,|m_1+m_2|$ 以下、積の球の半径は $(1+\lambda)(1+u)\,u\,|m_1m_2|$ 以下である。
4. （2 つの精度の一致は保証にならない）$q\ge2$ を整数、$x=2^{-q}$ とする。精度 $p\lt q$ の浮動小数点演算（$x$ が表せる指数範囲をもつもの）で $(1+x)-1$ を計算すると、結果は $0$ である。したがって $p_1\lt p_2\lt q$ の 2 つの精度の結果は完全に一致する（ともに $0$）が、真値は $x\ne0$ で、相対誤差は $1$ である。同じ計算を球算術で行うと、結果の球の半径は $u$ 以上で、真値 $x$ を含む。