各点収束する凸関数列は局所一様にリプシッツ

補題 6.1（「凸解析」§6）・ ✓公理まで証明済み

$U\subseteq\mathbb{R}^n$ を開凸集合、 $f_k$ を $U$ 上で有限な凸関数の列とし、各 $x\in U$ で $f_k(x)$ が有限な極限 $f(x)$ に収束するとする。このとき各 $x_0\in U$ に対し、 $r>0$ と $L$ が存在して、すべての $k$ について $f_k$ は $\overline{B}(x_0,r)$ 上で $L$ -リプシッツである。極限 $f$ も凸で、同じ球の上で $L$ -リプシッツである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

凸関数の局所リプシッツ性✓定理 3.2・凸解析
- 有界ならリプシッツ✓補題 3.1・凸解析
有界ならリプシッツ✓補題 3.1・凸解析

これを使っている定理証明で参照している 1 件

劣勾配の収束✓定理 6.2・凸解析

各点収束する凸関数列は局所一様にリプシッツ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件