物理学 › 量子力学 › シュレーディンガー方程式と波動関数

固有関数展開による一般解

定理 6.3（「シュレーディンガー方程式と波動関数」§6） ・ ✓公理まで証明済み

H^\hat H が時間に依らず、規格直交系をなす固有関数の族 {φn}n∈N\{\varphi_n\}_{n\in\mathbb{N}} が存在して、H^φn=Enφn\hat{H}\varphi_n = E_n\varphi_n、⟨φm∣φn⟩=δmn\langle \varphi_m\mid\varphi_n\rangle = \delta_{mn} を満たし、かつ考えている波動関数の空間で完全である（任意の ψ∈L2\psi \in L^2 が {φn}\{\varphi_n\} の線形結合の極限で表せる）と仮定する。このとき初期条件 ψ(x,0)=ψ0(x)\psi(x,0) = \psi_0(x) に対する 定義 3.1 の解は

ψ(x,t)=∑ncn φn(x) e−iEnt/ℏ,cn=⟨φn∣ψ0⟩\psi(x,t) = \sum_{n} c_n\,\varphi_n(x)\,e^{-iE_n t/\hbar}, \qquad c_n = \langle \varphi_n\mid\psi_0\rangle

で与えられる。さらに ψ0\psi_0 が規格化されていれば ∑n∣cn∣2=1\sum_n |c_n|^2 = 1 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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