Slater 行列式の性質

(1) $\phi_1,\dots,\phi_N$ が正規直交なら、$\|\,|\phi_1\cdots\phi_N\rangle_{\mathcal{A}}\|=1$。 (2) $\phi_1,\dots,\phi_N$ が 1 次従属なら $|\phi_1\cdots\phi_N\rangle_{\mathcal{A}}=0$。とくに同じ軌道は 2 回使えない（パウリの排他原理）。 (3) $\phi_j'=\sum_iU_{ij}\phi_i$（$U$ は $N\times N$ ユニタリ行列）と取り替えると、Slater 行列式は $\det U$（絶対値 $1$ の位相）倍になる。 (4) $\{e_i\}$ を $\mathfrak{h}$ の正規直交基底（添字は全順序）とすると、$i_1<i_2<\cdots<i_N$ に対する $|e_{i_1}\cdots e_{i_N}\rangle_{\mathcal{A}}$ は反対称空間の正規直交基底をなす。とくに $\dim\mathfrak{h}=d$ なら反対称空間の次元は二項係数 $\binom{d}{N}$ である。