物理学 › 場の量子論 › 電磁場の量子化とゲージ固定

クーロンゲージでの量子化

定理 3.5（「電磁場の量子化とゲージ固定」§3） ・ ✓公理まで証明済み

λ∈{1,2}\lambda\in\{1,2\}、k∈R3\boldsymbol k\in\mathbb{R}^3 について、演算子 a^k,λ\hat a_{\boldsymbol k,\lambda} が

[a^k,λ,a^k′,λ′†]=(2π)3δλλ′δ3(k−k′),[a^k,λ,a^k′,λ′]=0[\hat a_{\boldsymbol k,\lambda},\hat a^\dagger_{\boldsymbol k',\lambda'}]=(2\pi)^3\delta_{\lambda\lambda'}\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k'),\qquad [\hat a_{\boldsymbol k,\lambda},\hat a_{\boldsymbol k',\lambda'}]=0

を満たすとし、k0=∣k∣k^0=|\boldsymbol k| として

A^(x)=∫d3k(2π)312∣k∣∑λ=12(ελ(k) a^k,λ e−ik⋅x+ελ(k)∗ a^k,λ† eik⋅x),A^0=0\hat{\boldsymbol A}(x)=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2|\boldsymbol k|}}\sum_{\lambda=1}^{2}\left(\boldsymbol\varepsilon_\lambda(\boldsymbol k)\,\hat a_{\boldsymbol k,\lambda}\,e^{-ik\cdot x}+\boldsymbol\varepsilon_\lambda(\boldsymbol k)^*\,\hat a^\dagger_{\boldsymbol k,\lambda}\,e^{ik\cdot x}\right),\qquad \hat A^0=0

と定めます。このとき次が成り立ちます。

  1. ∇⋅A^=0\nabla\cdot\hat{\boldsymbol A}=0、□A^=0\Box\hat{\boldsymbol A}=0。したがって A^μ\hat A^\mu は j=0j=0 のマクスウェル方程式とクーロンゲージ条件を満たします。
  2. E^=−∂tA^\hat{\boldsymbol E}=-\partial_t\hat{\boldsymbol A} について、等時刻で
[A^i(t,x),E^j(t,y)]=−i δijtr(x−y),[A^i,A^j]=[E^i,E^j]=0.[\hat A^i(t,\boldsymbol x),\hat E^j(t,\boldsymbol y)]=-i\,\delta^{\mathrm{tr}}_{ij}(\boldsymbol x-\boldsymbol y),\qquad [\hat A^i,\hat A^j]=[\hat E^i,\hat E^j]=0.
  1. 正規順序をとったハミルトニアンは
H^=12∫d3x :(∣E^∣2+∣B^∣2):=∫d3k(2π)3∑λ=12∣k∣ a^k,λ†a^k,λ\hat H=\frac12\int d^3x\,{:}\left(|\hat{\boldsymbol E}|^2+|\hat{\boldsymbol B}|^2\right){:}=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\sum_{\lambda=1}^{2}|\boldsymbol k|\,\hat a^\dagger_{\boldsymbol k,\lambda}\hat a_{\boldsymbol k,\lambda}

です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。