ヒッグス機構（アーベリアン・ヒッグス模型）

定理 6.1（「ゲージ理論と自発的対称性の破れ」§6）・ ✓公理まで証明済み

$q \ne 0$ 、 $\mu^2 > 0$ 、 $\lambda > 0$ とし、複素スカラー場 $\phi$ とゲージ場 $A_\mu$ の理論

\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + (D_\mu\phi)^{*}(D^\mu\phi) - V(\phi), \qquad V(\phi) = -\mu^2\phi^{*}\phi + \lambda\left(\phi^{*}\phi\right)^2

を考える（ $D_\mu = \partial_\mu - iqA_\mu$ ）。 $v \equiv \mu/\sqrt{\lambda}$ とおく。このとき次が成り立つ。

$V$ の最小点の集合は円 $|\phi| = v/\sqrt{2}$ であり、局所 U(1) 対称性は完全に破れる（ $H = \{1\}$ ）。
$\phi(x) \ne 0$ なる任意の場の配位は、ゲージ変換によって $\phi = \big(v + h(x)\big)/\sqrt{2}$ （ $h$ は実場）の形に移せる（ユニタリーゲージ）。このゲージで、ゲージ場を $B_\mu$ と書くと

\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}[B]F^{\mu\nu}[B] + \frac{1}{2}m_A^2\,B_\mu B^\mu + \frac{1}{2}\partial_\mu h\,\partial^\mu h - \frac{1}{2}m_h^2 h^2 + \mathcal{L}_{\mathrm{int}} + \mathrm{const.}

となる。ここで

m_A = |q|\,v, \qquad m_h = \sqrt{2\lambda}\,v = \sqrt{2}\,\mu,

\mathcal{L}_{\mathrm{int}} = q^2 v\,h\,B_\mu B^\mu + \frac{q^2}{2}h^2 B_\mu B^\mu - \lambda v h^3 - \frac{\lambda}{4}h^4 .

物理的自由度の総数は破れの前後で変わらない。破れる前は質量ゼロのゲージ場 2 と複素スカラー 2 で計 4、破れた後は質量をもつベクトル場 3 と実スカラー 1 で計 4 である。
物理的スペクトルに質量ゼロのスカラー粒子は現れない。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。