Fourier–Galerkin 法の収束

定理 6.2（「スペクトル法」§6）・ ✓公理まで証明済み

$f \in L^2(\mathbb{T})$ 、 $u$ を弱解、 $u_N$ を Fourier–Galerkin 解とする。

$c$ が正の定数なら $\hat u(k) = \hat f(k)/(k^2 + c)$ で、 $u_N = P_Nu$ である。したがって誤差は定理 2.3 のとおりで、 $u$ が定理 4.2 の仮定を満たせば指数的に減る。
一般の $c$ では、 $s \ge 1$ で $u \in H^s_{\mathrm{per}}$ のとき $\|u - u_N\|_{H^1} \le \frac{M_a}{\alpha}\|u - P_Nu\|_{H^1} \le \frac{\sqrt2\,M_a}{\alpha}(K+1)^{1-s}|u|_{H^s}.$

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Céa の補題✓定理 2.5・有限要素法 I
- Galerkin 直交性✓補題 2.4・有限要素法 I
  - Galerkin 近似の適切性✓定理 2.3・有限要素法 I
    Lax–Milgram の定理✓定理 3.2・楕円型方程式の弱解と変分法この先をたどる →
Fourier 切断の誤差✓定理 2.3・スペクトル法

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。