不連続な関数の Fourier 切断

$f(\theta) = \mathrm{sgn}\,\theta$（$-\pi \lt \theta \lt \pi$）とし、$S_nf = \sum_{|k|\le n}\hat f(k)e_k$ を部分和とする。

1. $\sup_\theta|f(\theta) - S_nf(\theta)|$ は $n \to \infty$ で 0 に収束しない。
2. すべての $n \ge 0$ で $\|f - S_nf\|^2 \ge \dfrac{4}{\pi^2(n+2)}$。
3. 不連続点から離れた点 $\theta = \pi/2$ で、すべての $m \ge 0$ について $\bigl|f(\pi/2) - S_{2m+1}f(\pi/2)\bigr| \ge \dfrac{2}{\pi(2m+5)}$。