Rayleigh 商は残差を最小にする

$A \in \mathbb{C}^{n\times n}$、$\|\boldsymbol{x}\| = 1$ とし、$\boldsymbol{r} = A\boldsymbol{x} - R_A(\boldsymbol{x})\boldsymbol{x}$ とおく。このとき $\boldsymbol{x}^{*}\boldsymbol{r} = 0$、$\|\boldsymbol{r}\|^2 = \|A\boldsymbol{x}\|^2 - |R_A(\boldsymbol{x})|^2$ であり、任意の $\mu \in \mathbb{C}$ について

とくに $\mu \mapsto \|A\boldsymbol{x} - \mu\boldsymbol{x}\|$ は $\mu = R_A(\boldsymbol{x})$ でだけ最小になる。