数学 › 数値線形代数 › 固有値の計算 II

シフトつき QR 法と逆反復

定理 5.2（「固有値の計算 II」§5） ・ ✓公理まで証明済み

シフトつき QR 法の 1 段で Ak−1−μkIA_{k-1} - \mu_kI が正則とし、q=Qken\boldsymbol{q} = Q_k\boldsymbol{e}_n（QkQ_k の最後の列）とする。このとき

  1. q=(Rk)nn (Ak−1−μkI)−Ten\boldsymbol{q} = (R_k)_{nn}\,(A_{k-1} - \mu_kI)^{-\mathsf{T}}\boldsymbol{e}_n であり、(Rk)nn>0(R_k)_{nn} > 0。すなわち q\boldsymbol{q} は、Ak−1TA_{k-1}^{\mathsf{T}} にシフト μk\mu_k の逆反復を en\boldsymbol{e}_n から 1 回行ったベクトルである。
  2. θ=qTAk−1q\theta = \boldsymbol{q}^{\mathsf{T}}A_{k-1}\boldsymbol{q} とおくと (Ak)nn=θ(A_k)_{nn} = \theta であり、AkA_k の最下行の非対角部分について
(∑j<n(Ak)nj2)1/2=∥Ak−1Tq−θq∥2.\Bigl(\sum_{j<n}(A_k)_{nj}^2\Bigr)^{1/2} = \|A_{k-1}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{q} - \theta\boldsymbol{q}\|_2 .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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