正準性のシンプレクティック判定

時間に依存しない滑らかな可逆写像 $\eta = \eta(\xi)$（$\eta = (Q^1, \ldots, Q^n, P_1, \ldots, P_n)$）を考え、そのヤコビ行列を

とする。次の 3 条件は互いに同値である。

1. 任意のハミルトニアン $H$ について、$\dot\xi = J\nabla_\xi H$ の解の像 $\eta(\xi(t))$ が $K(\eta) := H(\xi(\eta))$ をハミルトニアンとするハミルトン方程式 $\dot\eta = J \nabla_\eta K$ を満たす。
2. すべての点で $M J M^{\mathsf{T}} = J$（シンプレクティック条件）。
3. 基本ポアソン括弧が保たれる。すなわち、もとの変数 $\xi$ に関するポアソン括弧について $\{Q^i, Q^j\} = 0$、$\{P_i, P_j\} = 0$、$\{Q^i, P_j\} = \delta^i_{\;j}$ が成り立つ。