数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › ルート系と Weyl 群

2 つのルートの位置関係

命題 4.3（「ルート系と Weyl 群」§4） ・ ✓公理まで証明済み

α,β∈Φ\alpha,\beta\in\Phi、β≠±α\beta\ne\pm\alpha とし、なす角を θ\theta とする。

  1. ⟨α,β∨⟩⟨β,α∨⟩=4cos⁡2θ∈{0,1,2,3}\langle\alpha,\beta^\vee\rangle\langle\beta,\alpha^\vee\rangle=4\cos^2\theta\in\lbrace0,1,2,3\rbrace。したがって θ∈{π2,π3,2π3,π4,3π4,π6,5π6}\theta\in\lbrace\frac\pi2,\frac\pi3,\frac{2\pi}3,\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac\pi6,\frac{5\pi}6\rbrace で、(α,β)≠0(\alpha,\beta)\ne0 なら長さの比 ∣β∣/∣α∣|\beta|/|\alpha| は 1,2,31,\sqrt2,\sqrt3 のいずれか（またはその逆数）である。
  2. (α,β)>0(\alpha,\beta)\gt0 なら α−β∈Φ\alpha-\beta\in\Phi、(α,β)<0(\alpha,\beta)\lt0 なら α+β∈Φ\alpha+\beta\in\Phi。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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