数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › ルート系と Weyl 群

ルート系

定義 4.1（「ルート系と Weyl 群」§4）

EE を有限次元の実内積空間とする。部分集合 Φ⊂E\Phi\subset E が次を満たすとき ルート系 という。λ∈E\lambda\in E と α≠0\alpha\ne0 に対し ⟨λ,α∨⟩=2(λ,α)/(α,α)\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle=2(\lambda,\alpha)/(\alpha,\alpha)、sα(λ)=λ−⟨λ,α∨⟩αs_\alpha(\lambda)=\lambda-\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha（α\alpha に直交する超平面に関する鏡映）とおく。

  1. Φ\Phi は有限で EE を張り、0∉Φ0\notin\Phi。
  2. α∈Φ\alpha\in\Phi の実数倍で Φ\Phi に入るのは ±α\pm\alpha だけ。
  3. α∈Φ\alpha\in\Phi なら sα(Φ)=Φs_\alpha(\Phi)=\Phi。
  4. α,β∈Φ\alpha,\beta\in\Phi なら ⟨β,α∨⟩∈Z\langle\beta,\alpha^\vee\rangle\in\mathbb{Z}。

sαs_\alpha（α∈Φ\alpha\in\Phi）が生成する O(E)O(E) の部分群 WW を Weyl 群 という。dim⁡E\dim E を 階数 という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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