数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › Mermin–Wagner の定理

非有界スピンのねじりの不等式

命題 4.15（「Mermin–Wagner の定理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

定義 4.11 の設定（任意の d≥1d\ge1）で、§4.2 の平面 PP と回転 RtR_t、有限集合 Λ\Lambda、Λ\Lambda の外で 00 となる ψ:Zd→R\psi:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{R}、{ψ=1}\{\psi=1\} に含まれる集合 AA、有界な FA\mathcal{F}_A-可測関数 f≥0f\ge0 をとり、

Wψ(σ)=12∑{x,y}∣J(x−y)∣(ψ(x)−ψ(y))2(∣σx∣2+∣σy∣2)W_\psi(\sigma)=\frac12\sum_{\{x,y\}}|J(x-y)|\bigl(\psi(x)-\psi(y)\bigr)^2\bigl(|\sigma_x|^2+|\sigma_y|^2\bigr)

とおく（ψ(x)≠ψ(y)\psi(x)\ne\psi(y) となる結合は有限個なので有限和）。このとき、すべての ω∈Ωρ\omega\in\Omega_\rho、θ∈R\theta\in\mathbb{R} について

γΛ(f∘Rθ∣ω)+γΛ(f∘R−θ∣ω)≥2γΛ(f∣ω)−βθ2∥f∥∞ γΛ(Wψ∣ω),\gamma_\Lambda(f\circ R_\theta\mid\omega)+\gamma_\Lambda(f\circ R_{-\theta}\mid\omega)\ge2\gamma_\Lambda(f\mid\omega)-\beta\theta^2\|f\|_\infty\,\gamma_\Lambda(W_\psi\mid\omega),

右辺の γΛ(Wψ∣ω)\gamma_\Lambda(W_\psi\mid\omega) は有限である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件