完全流体の保存則

命題 3.6（「Einstein 方程式」§3）・ ✓公理まで証明済み

エネルギー密度 $\varepsilon$ 、圧力 $p$ 、4 元速度 $u^\mu$ （ $g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=-1$ ）をもつ完全流体のエネルギー・運動量テンソルを

T^{\mu\nu}=(\varepsilon+p)\,u^\mu u^\nu+p\,g^{\mu\nu}

とする。 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ は

u^\mu\partial_\mu\varepsilon+(\varepsilon+p)\nabla_\mu u^\mu=0,\qquad (\varepsilon+p)\,u^\mu\nabla_\mu u^\nu=-(g^{\nu\mu}+u^\nu u^\mu)\,\partial_\mu p

と同値である。第 1 式はエネルギーの保存、第 2 式は相対論的なオイラー方程式である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

塵の運動方程式は場の方程式から出る✓命題 3.4・Einstein 方程式
- 接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析
  - 接続（共変微分）定義 3.1・曲がった時空のテンソル解析
- 測地線定義 5.1・曲がった時空のテンソル解析

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。